随机数据处理方法 期末试卷及答案 (王清河)

期末试卷配套教材：

书名：随机数据处理方法
作者：王清河 常兆光 曹晓敏 许晓婕
出版社：中国石油大学出版社

期末试卷概述：

2009—2010学年第一学期 《概率论与数理统计》试卷 一．填空题（20分＝2×10）： 一个袋子中有5只黑球3只白球，从中任取两次，每次取一只（不放回），若以表示：“取到的两只球均为白球”；表示：“取到的两只球至少有一只白球”。则__(1)___； __(2)___。 设离散型随机变量的分布律为，则__(3)___；__(4)___。 设随机变量、，且相互独立，则： __(5)___；__(6)___。 设随机变量服从参数为3的泊松分布，用切比雪夫不等式估计__(7)___。 设总体为来自的一个样本，设，则当__(8)___时，。 设是来自参数为的泊松分布总体的一个简单随机样本，为样本均值，则未知参数的矩估计量__(9)___。 设随机过程（随机变量），，，则的自相关函数为_ (10)___。 二、选择题(每题2分，满分20分)： 下列各命题中，【 (11) 】为真命题。 () 若，则为不可能事件； () ； () 若与互不相容，则； () 设为个事件，若对，均有 ，则相互独立。 设每次试验成功的概率为2/3，则在三次独立重复试验中至少失败一次的概率为【 (12) 】。 () () () () 3．已知随机变量X的概率密度，令，则的概率密度【 (13) 】。 () () () () 4．设为来自正态总体的简单随机样本， 为样本均值，为样本方差，则【 (14) 】() () () () 5.设与独立同分布,记，,则必然【 (15) 】。 ()不独立； ()不相关； ()相关； ()独立。 6．设随机变量服从参数为的泊松分布，且，则【 (16) 】()； () ； () ； () 。 将一枚硬币重复掷次，以和分别表示正、反面朝上的次数，则和的相关系数等于【 (17) 】。 () －1； () 0； () 1/2； () 37。 设为正态总体的一个样本，表示样本均值，若欲使 的置信度为的置信区间长度缩小为原来的一半，则新的样本容量应为 【 (18) 】。 () 4n； () 2n； () n； ()。 9. 设为独立同分布的随机变量序列，且均服从的指数分布，记为标准正态分布函数，则【 (19) 】。 。 10．设为来自总体的一个样本，为样本均值，未知，则总体方差的无偏估计量是【 (20) 】。 () () () () 一、二题答题卡 选项代号 (1) (2) (3) (4) (5) 填 空 题 3/28 9/14 60/77 65/77 19 选项代号 (6) (7) (8) (9) (10) 填 空 题 0 3/16 1/9 或 选项代号 (11) (12) (13) (14) (15) 选 择 题 选项代号 (16) (17) (18) (19) (20) 选 择 题 三、计算题（25分=5×5） 1. 设事件都不发生的概率为0.3，且，求中至少有一个不发生的概率。 解：由题设条件知，， 即 ，------------2分 从而由，可得，则所求概率为。 ------------5分 2．设随机变量的概率密度分别为： ， (1)求； (2)又设相互独立，求. 解：（1）由题设知 ； ---------------3分（2）由相互独立，知。--------5分3. 早上8:00开始有无穷多的人排队等候服务,设只有一名服务员,且每人接受服务的时间是独立的并服从均值为20分钟的指数分布,则到中午12:00为止平均有多少人已经离开? 解：设表示在这段时间内接受完服务离开的人数，由题设每人接受服务的时间是独立的并服从均值为20分钟的指数分布,知其参数为，由此可知过程是具有参数的泊松过程，从而。 --------3分 而从早8:00开始到中午12:00为止，（分钟），从而可得 ，即这段时间内平均有12人已经离开。 --------5分 注：也可将单位统一为小时。 4. 种商品的月销售量，现进行9次观测，得样本均值和样本标准差分别为试检验假设（显著性水平。附表如下： 解：取统计量 （当假设成立时） 对给定的，由，即，查表可得， ------------------3分 又，计算可得的观察值，显然，从而可知应接受假设。 ------------------5分 5. 电比色计检验尿汞时，得尿汞含量与消光系数读数的结果如下： 变量 序号 1 2 64 4 4096 128 2 4 138 16 19044 552 3 6 205 36 42025 1230 4 8 285 64 81225 2280 5 10 360 100 129600 3600 ∑ 30 1052 220 275990 7790 试求：与的一元线性回归方程。 解： ，， ，， 可得 ，， --------------4分 从而与的一元线性回归方程为。 ----------5分 四、（8分） 有三个围棋盒，第一个盒子中有20个白棋子和30个黑棋子，第二个盒子中有40个白棋子和10个黑棋子，第三个盒子中有30个白棋子和40个黑棋子，现随机地取一个盒子并随机地从中取一个棋子， 求：（1）取出是白棋子的概率； （2）若取出的是黑棋子，该棋子来自第一个盒子的概率。（注：答案用分数表示） 解：设：“取出的是白棋”，：“取到的是第个盒子”， 则由全概率公式可知取出是白棋子的概率为 ； --------4分而若取出的是黑棋子，该棋子来自第一个盒子的概率为 。 --------8分 五、（6分） 设总体的密度函数为 其中为未知参数，是随机抽取的一组样本观察值，求的极大似然估计量。 解：似然函数 , , ---------4分 可知当时，关于是单增的，而当时，，因而在时取得最大值，从而可得的极大似然估计量为 。 ---------6分六、（9分） 设马氏链的状态空间为，初始分布为，，，一步转移概率矩阵为 （1）计算； （2）计算； （3）证明。（1）解： ； -------------3分 （2）解： 而由一步转移概率矩阵可得其两步转移概率矩阵为 从而可得 ； ----------6分 （3）证明： . -----------9分 七、（12分） 设有二维连续型随机变量的联合概率密度 ， 求：（1）关于和关于的边缘概率密度； （2）； （3）和是否独立，为什么？ 解：（1）关于的边缘概率密度为 即 关于的边缘概率密度为 即 ------------6分 （2）； -----------10分 （3）显然 ， 从而可知与不是相互独立的。 ------------12分